Brauch mal Hilfe beim Errechnen der Eigenvektoren

ich habe so eine kleine Aufgabe über die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet und komme auf die richtigen Eigenwerte aber leider nicht auf die Eigenvektoren kann mir einer vielleicht für kleine Kinder den Rechenweg zeigen 😛

Die Aufgabe:

Matrix A 2 3
4 13

charakteristisches Polynom:
x^2 - 15x + 14

reelle Eigenwerte:
{1; 14}


Und auf diese Ergebnisse komme ich einfach nicht, denn die Gleichungen lösen sich immer auf null auf


Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(-3; 1)
Eigenvektor zu Eigenwert 14:
(1; 4)

nourdin schrieb:

Und auf diese Ergebnisse komme ich einfach nicht, denn die Gleichungen lösen sich immer auf null auf

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Das ist richtig, du bekommst dabei immer homogene Gleichungssysteme, also Gleichungssysteme der Form [tex](A-\lambda I)v=0[/tex]. Es liegt in der Natur der Sache, dass v=0 eine mögliche Lösung ist. Aber nicht (jedenfalls hier, wenn die Eigenwerte richtig bestimmt sind) die einzige, es ergibt sich immer ein Vektorraum von Lösungen (der Eigenraum zu diesem Eigenwert).
Ein möglicher Lösungsweg:
Erstmal der Eigenwert 1. Man überführt [tex]A-1I = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 4 & 12\end{pmatrix}[/tex] (mittels Gauß-Algorithmus) in Treppennormalform: [tex]\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/tex]. Man liest jetzt direkt den Lösungsraum ab, der vom Vektor [tex]\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}[/tex] aufgespannt wird. Den kann man auch direkt als Eigenvektor angeben, sofern man keine speziellen Anforderungen, wie z.B. Normiertheit, hat.
Mit dem anderen Eigenwert funktioniert es genauso. Du wirst dir wahrscheinlich nochmal angucken müssen, wie man homogene lineare Gleichungssysteme löst.

Danke Dir für deine Hilfe werde sie bestimmt nochmal benötigen