Aufgabe zur Gutenberg-Produktionsfunktion und zur Preispolitik im Monopol

Francil · 6 Februar 2008

Aufgabe zur Gutenberg-Produktionsfunktion und zur Preispolitik im Monopol

Hallo!

Habe hier zwei Teilaufgaben vor mir liegen,bei denen ich absolut nicht weiterweiß.Wäre nett,wenn mir jmd dabei helfen kann.

1.Aufgabe)k(x)=3x^2-30x+300
0<x<50, 0<t<16
Mit welcher Kombination von Intensität und Einsatzzeit wird M=480 kostenminimal hergestellt?

2.Aufgabe)Preisabsatzfunktion p(x)=a-b*x=60-0,25*x
Kostenfkt K(x)=Kf+kf*x=100+6x
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum!

So,das war´s.Hoffe auf wertvolle Tipps

ericdanone · 7 Februar 2008

Francil schrieb:
1.Aufgabe)k(x)=3x^2-30x+300
0<x<50, 0<t<16
Mit welcher Kombination von Intensität und Einsatzzeit wird M=480 kostenminimal hergestellt?

Erste Ableitung = 0 ergibt minimale Stückkosten:
k'(x)=6x-30; 6x=30; x=5

Da 0<t<=16 (gehe mal davon aus, dass die 16 noch im zulässigen Bereich ist) können maximal 5 * 16 = 80 Stück hergestellt werden. Eine zeitmäßige Anpassung mit der kostenoptimalen Intenistät ist somit nicht möglich. Es bleibt nur die intensitätsmäßige Anpassung:

Es müssen 480 Stück in 16 Zeiteinheiten produziert werden, d.h. pro Stunde 30 Stück. x=30 in Kostenfunktion eingesetzt ergibt Kosten in Höhe von k(30)=3*900+30*30+300=2700+900+300=3300 je produzierte Einheit.

2.Aufgabe)Preisabsatzfunktion p(x)=a-b*x=60-0,25*x
Kostenfkt K(x)=Kf+kf*x=100+6x
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum!

Gewinnmaximum: Grenzkosten = Grenzerlös

Grenzkosten K'=6
Erlös: E=x*p(x)=x*(60-0,25x)=60x-0,25x²
E'=60-0,5x

K'=E'
6=60-0,5x
0,5x=54
x*=108
p(108)=60-0,25*108=33

Preiselastizität = relative Mengenänderung zu relativer Preisänderung

[tex]\epsilon_{x,p}=\frac{\frac{d x}{x}}{\frac{d p}{p}}=
\frac{d x}{d p} \cdot \frac{p}{x}[/tex]

p(x)=60-0,25x
p(108)=33
p'(x)=-0,25

0,25x=60-p
x=240-4p
x=108
x'=-4

Im den folgenden Berechnungen sind einige Fehler enthalten. Daher bitte meinen späteren ausführlichen Beitrag lesen.

[tex]\epsilon_{x=108,p=33}=\frac{-4}{-0,25} \cdot \frac{33}{108}=\frac{12 \cdot 33}{108}=\frac{11}{3}[/tex]

Die Preiselastizität wird z.T. unterschiedlich definiert (Vorzeichen). Hier ggf. noch mal die Unterlagen vom Prof einsehen.

Gruß
Stefan

CorneliaS · 7 Februar 2008

Francil,
bei Deinen Fragen handelt es sich ja um die letzte Klausur.

Ich kann Dir schon mal zur 1. Aufgabe antworten: Hast Du Dir schon mal in KE 1 die Aufgabe 6 (S. 111) angeschaut? Der Rechenweg ist genau identisch.
Wenn Du schon bis zu dieser Teilaufgabe d gekommen bist, musst Du nur bemerken, dass M mit 480 durch intensitätsmäßige Anpassung herzustellen ist, weil 480 ja im Intervall 80 und 800 (solltest Du unter c herausbekommen haben) liegt. Somit nur noch in die entsprechende Formel M=x*t -> x=M/t=480/16=30. Die t=16 sind aus der Angabe zu nehmen, bei intensitätsmäßiger Anpassung wird ja maximle Zeit ausgenützt.

Ich hoffe es ist jetzt etwas klarer?!
Viele Grüße Cornelia

Francil · 14 Februar 2008

Vielen Dank.In der Tat ist es jetzt klarer🙂Nur,ericdanone,wie kommst du auf x=240-4p?

chasey82 · 14 Februar 2008

Francil schrieb:
Hallo!Vielen Dank.In der Tat ist es jetzt klarer🙂Nur,ericdanone,wie kommst du auf x=240-4p?
LG

indem man eine Zeile drüber durch 0,25 teilt. Es soll doch nach x aufgelöst werden

Francil · 17 Februar 2008

Oops..klar.dankeschön

FabianWIwi · 17 Februar 2008

super, dass Du die Aufgabe 3 b lösen konntest. Ich sitze nun auch schon ein wenig länger an dieser Aufgabe... Nur eine Frage, bzw. Verbesserung: Du hast geschrieben: 12*33/108... Meines Achtens müsste es lauten: 16*33/108...

Dazu noch eine Frage: Bist Du Dir sicher, dass so der Lösungsweg richtig ist. Ich persönlich weiß es nicht besser, nur habe ich gesehen, dass einige es anders gelöst haben:

Es wurde die Funktion: Kostenfunktion abgeleitet, und die Erlösefunktion abgeleitet. So dass entsteht: 6/ 60-0,5*x. Für x wird 108 eingesetzt, so dass 1 rauskommt.

Aber wie gesagt, ich weiß es nicht, Dein Rechenweg scheint mir eigentlich sinnvoller... Nur wird dort die Kostenfunktion meines Achtens außer Betracht gelassen. Ist das so korrekt...?

ericdanone · 17 Februar 2008

FabianWIwi schrieb:
Hallo Stefan,
super, dass Du die Aufgabe 3 b lösen konntest. Ich sitze nun auch schon ein wenig länger an dieser Aufgabe... Nur eine Frage, bzw. Verbesserung: Du hast geschrieben: 12*33/108... Meines Achtens müsste es lauten: 16*33/108...

Dazu noch eine Frage: Bist Du Dir sicher, dass so der Lösungsweg richtig ist. Ich persönlich weiß es nicht besser, nur habe ich gesehen, dass einige es anders gelöst haben:

Es wurde die Funktion: Kostenfunktion abgeleitet, und die Erlösefunktion abgeleitet. So dass entsteht: 6/ 60-0,5*x. Für x wird 108 eingesetzt, so dass 1 rauskommt.

Aber wie gesagt, ich weiß es nicht, Dein Rechenweg scheint mir eigentlich sinnvoller... Nur wird dort die Kostenfunktion meines Achtens außer Betracht gelassen. Ist das so korrekt...?

16 statt 12 ist natürlich richtig.

Die Preiselastizität der Nachfrage ist seit vielen Jahren ein beliebtes Mittel um Studenten zu quälen. Daher gibt es auch viele verschiedene Formen und Definitionen. So gibt es den Marginalansatz, der unmittelbar mit den Ableitungen arbeitet. Einfacher nachvollziehbar und meines Erachtens auch aussagekräftiger sind der 1%-Ansatz und der 1-Einheit-Ansatz, d.h. wie verändert sich die Nachfrage (d.h. die Absatzmenge) wenn sich der Preis um 1% bzw. um 1 Euro (oder 1 Cent) verändert. Allen Ansätzen gemein ist jedoch, dass immer relative Änderungen zu berechnen und ins Verhältnis zu setzen sind. Hier hat jeder Professor seine eigene Vorstellung daher empfiehlt es sich, sich an die jeweilige Definition zu halten. Wenn du diese posten könntest, würde ich mir die Sache noch mal anschauen.

Gruß
Stefan

ericdanone · 17 Februar 2008

Noch ein Nachtrag zur Kostenfunktion:

Die Kostenfunktion benötigst du nur um den Cournot'schen Punkt zu berechnen. Dies kann über die Gewinnfunktion erfolgen: G(x) = E(x) - K(x). Diese dann ableiten, gleich Null setzen und nach x auflösen. Ergibt x = 108. Oder aber du gehst nach der Optimalitätsbedingung Grenzkosten = Grenzerlös, d.h. du differenzierst zuerst die Erlös- und die Kostenfunktion getrennt und setzt sie dann gleich. Diesen Weg habe auch ich gewählt. Die Menge in die Nachfragefunktion eingesetzt ergibt dann den Preis. Für die Berechnung der Elastizität benötigst du die Kostenfunktion nicht mehr.

Gruß
Stefan

Georgina B · 18 Februar 2008

chasey82 schrieb:
indem man eine Zeile drüber durch 0,25 teilt. Es soll doch nach x aufgelöst werden 🙂

Hallo ,

also wenn ich p = 60 -25x nach x auflöse, erhalte ich:
x = -1/25p + 60/25
x = 2,4 - 0,04p
x´=-0,04

Ausserdem verstehe ich nicht, wieso dx/dp 4/25 sein soll,

habe an anderer Stelle gelesen, das Dx/dp für EINE abgeleitete Funktion steht, nämlich indem die p-Fkt. nach x aufgelöst und dann nach p abgeleitet wird, in diesem Fall ergebe sich also:

n = - 0,04 * 33/108

Oh Mann wer ist sich denn SICHER wie es nun gemacht werden soll??? Es gibt wirklich so viele verschiedene Möglichkeiten bzw. Theorien dazu...

ericdanone · 19 Februar 2008

Georgina B schrieb:
Hallo ,

also wenn ich p = 60 -25x nach x auflöse, erhalte ich:
x = -1/25p + 60/25
x = 2,4 - 0,04p
x´=-0,04

Ausserdem verstehe ich nicht, wieso dx/dp 4/25 sein soll,

habe an anderer Stelle gelesen, das Dx/dp für EINE abgeleitete Funktion steht, nämlich indem die p-Fkt. nach x aufgelöst und dann nach p abgeleitet wird, in diesem Fall ergebe sich also:

n = - 0,04 * 33/108

Oh Mann wer ist sich denn SICHER wie es nun gemacht werden soll??? Es gibt wirklich so viele verschiedene Möglichkeiten bzw. Theorien dazu...

Hallo Georgina,
ich habe gerade gesehen, dass ich bei der Aufstellung der Formel einen Fehler habe. Statt [tex]\frac{\frac{dx}{x}}{\frac{dp}{p}}[/tex] muss es heißen

[tex]\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p}{p}}=\frac{dx}{dp} \cdot \frac{p}{x}[/tex]

Somit fällt aus nachfolgenden Berechnung auch die Ableitung der Umkehrfunktion raus. Ich werde die Rechnung mit Beträgen später nochmal durchführen.
Gruß
Stefan

ericdanone · 20 Februar 2008

Nachdem ich für etwas Verwirrung gesorgt habe, möchte ich die Berechnung der Preiselastizität hier nochmal vollständig durchführen. Gegeben war die Nachfragefunktion: p = p(x) = 60 - 0,25x. Das Gewinnmaximum des Monopolisten lag bei x*=108 und p*=33.

Die Elastizität der Nachfrage ist definiert als

[tex]\epsilon_{x,p}=\frac{relative \quad Mengenaenderung}{relative \quad Preisaenderung}=\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p}{p}}=\frac{\Delta x}{\Delta p} \cdot \frac{p}{x}[/tex]

Lässt man nun die Preisänderung [tex]\Delta[/tex]p beliebig klein werden, erhält man den Differentialquotienten, was der 1. Ableitung entspricht:

[tex]\lim_{\Delta p \to 0}\quad\frac{\Delta x}{\Delta p}=\frac{dx}{dp}=x'(p)[/tex]

Daraus folgt:

[tex]\epsilon_{x,p}=x'(p) \cdot \frac{p}{x(p)}[/tex]

Bezogen auf das Beispiel:

p = 60 - 0,25x
4p = 240 - x
4p - 240 = -x
x = 240 - 4p

p= 33 --> x = 108

x'(p) = -4

[tex]\epsilon_{x=108,p=33}=-4 \cdot \frac{33}{108}=-1,22[/tex]

Das Ergebnis lässt sich mit der 1%-Methode leicht überprüfen:

Ausgangssituation: p1=33, x1=108
Preisreduktion um 1%: p2=33-0,33=32,67
x2=x(32,67)=240-4*32,67=109,32
Preisänderung: -0,33
Mengenänderung: 1,32
relative Preisänderung: -0,33/33=-0,01
relative Mengenänderung: 1,32/108=0,0122
Preiselastizität=0,0122 / -,01 = -1,22

Gruß
Stefan

Georgina B · 20 Februar 2008

Supi! Habs verstanden und so werde ich es in der Klausur auch rechnen, aber jetzt kommt Elastizität bestimmt nicht dran...

Snöt · 20 Februar 2008

Auch ich danke für die Hilfe...

Francil · 20 Februar 2008

mit der Elastizitätsfunktion hat das nichts zu tun,oder?also 1.ableitung*x : fkt.

joma123 · 23 Februar 2008

KLASSE

ericdanone schrieb:
Nachdem ich für etwas Verwirrung gesorgt habe, möchte ich die Berechnung der Preiselastizität hier nochmal vollständig durchführen. Gegeben war die Nachfragefunktion: p = p(x) = 60 - 0,25x. Das Gewinnmaximum des Monopolisten lag bei x*=108 und p*=33.

Die Elastizität der Nachfrage ist definiert als

[tex]\epsilon_{x,p}=\frac{relative \quad Mengenaenderung}{relative \quad Preisaenderung}=\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p}{p}}=\frac{\Delta x}{\Delta p} \cdot \frac{p}{x}[/tex]

Lässt man nun die Preisänderung [tex]\Delta[/tex]p beliebig klein werden, erhält man den Differentialquotienten, was der 1. Ableitung entspricht:

[tex]\lim_{\Delta p \to 0}\quad\frac{\Delta x}{\Delta p}=\frac{dx}{dp}=x'(p)[/tex]

Daraus folgt:

[tex]\epsilon_{x,p}=x'(p) \cdot \frac{p}{x(p)}[/tex]

Bezogen auf das Beispiel:

p = 60 - 0,25x
4p = 240 - x
4p - 240 = -x
x = 240 - 4p

p= 33 --> x = 108

x'(p) = -4

[tex]\epsilon_{x=108,p=33}=-4 \cdot \frac{33}{108}=-1,22[/tex]

Das Ergebnis lässt sich mit der 1%-Methode leicht überprüfen:

Ausgangssituation: p1=33, x1=108
Preisreduktion um 1%: p2=33-0,33=32,67
x2=x(32,67)=240-4*32,67=109,32
Preisänderung: -0,33
Mengenänderung: 1,32
relative Preisänderung: -0,33/33=-0,01
relative Mengenänderung: 1,32/108=0,0122
Preiselastizität=0,0122 / -,01 = -1,22

Gruß
Stefan

jetzt hab ich es auch verstanden... kommt aber wahrscheinlich eh nicht dran:mad

Aufgabe zur Gutenberg-Produktionsfunktion und zur Preispolitik im Monopol

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