von Studenten für Studenten
Amoroso und Robinson Formel ?
- Ersteller willenium
- Erstellt am
U(x) = P(x) * x
U'(x)
= dp/dx * x + p .........................// Produktregel
= p * ([1/p * dp/dx * x] + 1) ...... // p ausklammern
= p * ([dp/dx * x/p] + 1) ............// etwas anders hingeschrieben: 1/p * x = x/p
= p * ([1 / (dx/dp * p/x)] + 1) .....// a / b = 1 / (b / a)
= p * ([1 / nx,p] + 1) .................// nx,p = dx/dp * p/x
= p * (1 + [1 / nx,p]) .................// Summanden umdrehen
Liebe Grüße
U'(x)
= dp/dx * x + p .........................// Produktregel
= p * ([1/p * dp/dx * x] + 1) ...... // p ausklammern
= p * ([dp/dx * x/p] + 1) ............// etwas anders hingeschrieben: 1/p * x = x/p
= p * ([1 / (dx/dp * p/x)] + 1) .....// a / b = 1 / (b / a)
= p * ([1 / nx,p] + 1) .................// nx,p = dx/dp * p/x
= p * (1 + [1 / nx,p]) .................// Summanden umdrehen
Liebe Grüße
E
embi
Ich hoffe, diese Formel wird nicht explizit nachgefragt und man kann es über den normalen Rechenweg anwenden..
Diese Beziehung zwischen Grenzumsatz U'(x) und Preiselastizität der Nachfrage nx,p führt quasi sofort zu der Aussage, dass im Umsatzmaximum nx,p = -1 ist, denn:
Im Umsatzmaximum ist U'(x) = 0
U'(x) = p * (1 + [1 / nx,p]) = 0
1 + [1 / nx,p] = 0
nx,p = -1
Liebe Grüße
E
embi
Ich kann mir aber beim besten Willen die Formel nicht merken.. ich pack`s einfach nicht.. naja, nächstes Semester Mathe, da hoffe ich, weitere Erkenntnisse zu bekommen.
Locker bleiben!
Amoroso-Robinson = beziehung zwischen Grenzumsatz und Elastizität.
Jetzt musst du nur noch zwei Dinge beherrschen: zum einen die Produktregel, zum anderen dass man einen Quotienten a/b schreiben kann als 1/(b/a). Letzteres ist Klasse 6, 7. Darf man erwarten...
Der Grenzumsatz ist klar, denn bei U(x) = p(x) * x gilt:
U'(x) = p'(x) * x + p(x) * 1 (Produktregel sollte man schon kennen!)
Jetzt ist es gemeinhin so, dass man auf der Uni dp/dx statt p'(x) schreibt und für p(x) einfach p schreibt, denn ein bestimmter Preis p ist ja grade p(x). Eine Schreibweise, die Anfangs überflüssig erscheint und nervt aber mit fortwährender Übung so manches vereinfacht.
U'(x) = dp/dx * x + p
Was hat das mit der Elastizität e zu tun?
e = (dx/x) / (dp/p ) = (dx/x) * (p/dp) = dx/dp * x/p
Vergleiche die grün dargestellten Brüche!
Klingelt's?
Offensichtlich ist doch dp/dx genau der Kehrwert von dx/dp. Es scheint einen Zusammenhang zum Kehrwert von e zu geben.
Würde ich jetzt aber in U'(x) einfach nur für dp/dx den Ausdruck 1/e einsetzen, dann wäre das aber zunächst falsch, weil ich den blauen Teil logischerweise berücksichtigen muss, denn:
1/e = 1 / (dx/dp * x/p) = (p * dp) / (dx * x) = dp/dx * p/x
Hat mir mein Schritt aber möglicherweise doch weiter geholfen?
Offensichtlich ja, denn der grell-grüne Teil stimmt exakt mit dem dunkelgrünen Teil von U'(x) überein.
Das heißt doch nix weiter, als das dp/dx rauskommt, wenn ich 1/e = dp/dx * p/x nochmals durch p/x dividiere (also mit p/x multipliziere), denn dann fällt der Teil "p/x" bei der Formel für 1/e weg 😉
Daher ist U'(x) = [1/e : p/x] * x + p, denn
[1/e * x/p ] * x+ p = [ dp/dx * p/x * x/p ] * x + p = dp/dx * x + p = U'(x) (siehe oben).
Weil wir grade gezeigt haben (siehe Fettdruck), dass dp/dx = 1/e * p/x gilt, setzen wir eben 1/e * p/x für dp/dx ein:
U'(x) = 1/e * p/x * x + p = px/(ex) + p = p/e + p = p [(1/e) + 1] q.e.d.
Amoroso-Robinson = beziehung zwischen Grenzumsatz und Elastizität.
Jetzt musst du nur noch zwei Dinge beherrschen: zum einen die Produktregel, zum anderen dass man einen Quotienten a/b schreiben kann als 1/(b/a). Letzteres ist Klasse 6, 7. Darf man erwarten...
Der Grenzumsatz ist klar, denn bei U(x) = p(x) * x gilt:
U'(x) = p'(x) * x + p(x) * 1 (Produktregel sollte man schon kennen!)
Jetzt ist es gemeinhin so, dass man auf der Uni dp/dx statt p'(x) schreibt und für p(x) einfach p schreibt, denn ein bestimmter Preis p ist ja grade p(x). Eine Schreibweise, die Anfangs überflüssig erscheint und nervt aber mit fortwährender Übung so manches vereinfacht.
U'(x) = dp/dx * x + p
Was hat das mit der Elastizität e zu tun?
e = (dx/x) / (dp/p ) = (dx/x) * (p/dp) = dx/dp * x/p
Vergleiche die grün dargestellten Brüche!
Klingelt's?
Offensichtlich ist doch dp/dx genau der Kehrwert von dx/dp. Es scheint einen Zusammenhang zum Kehrwert von e zu geben.
Würde ich jetzt aber in U'(x) einfach nur für dp/dx den Ausdruck 1/e einsetzen, dann wäre das aber zunächst falsch, weil ich den blauen Teil logischerweise berücksichtigen muss, denn:
1/e = 1 / (dx/dp * x/p) = (p * dp) / (dx * x) = dp/dx * p/x
Hat mir mein Schritt aber möglicherweise doch weiter geholfen?
Offensichtlich ja, denn der grell-grüne Teil stimmt exakt mit dem dunkelgrünen Teil von U'(x) überein.
Das heißt doch nix weiter, als das dp/dx rauskommt, wenn ich 1/e = dp/dx * p/x nochmals durch p/x dividiere (also mit p/x multipliziere), denn dann fällt der Teil "p/x" bei der Formel für 1/e weg 😉
Daher ist U'(x) = [1/e : p/x] * x + p, denn
[1/e * x/p ] * x+ p = [ dp/dx * p/x * x/p ] * x + p = dp/dx * x + p = U'(x) (siehe oben).
Weil wir grade gezeigt haben (siehe Fettdruck), dass dp/dx = 1/e * p/x gilt, setzen wir eben 1/e * p/x für dp/dx ein:
U'(x) = 1/e * p/x * x + p = px/(ex) + p = p/e + p = p [(1/e) + 1] q.e.d.
