2. Ableitung mit Quotientenregel

Mathe... ohne Worte, aber nagut:

Ich habe ne Frage zum ableiten der 1.ableitung einer gebrochenen rationalen Funktion:
Als Bsp. nehmen wir ma Kapitel 11.6 S 35 Übungsaugabe 11.6.2 i)

f(x) = 2x / 1+x²

f'(x) =( f'*g - f*g' ) / g² = (2 + 2x² - 4x²) / (1 + x²)²

= (-2x² + 2) / (1 + x²)²

soweit so gut, is ja noch recht simpel, aber jetzt:

f"(x) = ( f'*g - f*g' ) / g²= ?

Ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung!
Ich kann auch nicht ganz nachvollziehen, ob das g² der 1. Ableitung komplett abgeleitet wird, oder ob ich wieder nur das g aus f(x) betrachte
Ich habe beide Varianten versucht:

1.) g = 1 + x² => g' = 2x
=> f"(x) = ((-4x*1 + -4x*x²) - (-2x²*2x + 2*2x)) / (1 + x²)³
= -8x / (1 + x²)³ FALSCH!!!

2.) g = (1 + x²)² = 1 + 2x² + x^4 =>g' = 4x + 4x³
=> f"(x) = ((-4x*1 + -4x*2x² + -4x*x^4) - (4x*-2x² + 4x*2 +4x³*-2x²
+ 4x³*2)) / (1 + x²)³
= (-4x - 8x³ -4x^5 + 8x³ - 8x + 8x^5 - 8x³) / (1 + x²)³
= ( 4x^5 - 8x³ -12x) / (1 + x²)³ FALSCH!!!

Die vorgegebene Lösung lautet: f"(x) = (4x³ - 12x) / (1 + x²)³

Sieht einer meinen Fehler?
Welche Variante für g in f"(x) verwende ich denn nun ?
Zur not reichts auch, wenn jemand denn richtigen ausführlichen Lösungsweg aufzeigt, das wäre schon saukool!!!

Danke im vorraus

Du wendest einfach die Quotientenregel nochmal an. Die Ableitung von (-2x² + 2) / (1 + x²)² ist

[ -4x(1+x²)² - (-2x² + 2)2(1+x²)2x ] / (1+x²)^4

= [ -4x(1+x²) - 4x(-2x² + 2) ] / (1+x²)³
= [ -4x(1+x² - 2x² + 2) ] / (1+x²)³
= -4x(-x²+3)/(1+x²)³
= (4x³ - 12x) / (1+x²)³

Bei der Anwendung der Quotientenregel auf f' gehst du natürlich nurvon f' aus, Zähler und Nenner von f sind völlig uninteressant.

Okay,

1.)
g' ist also = 2*(1+x²)*2x ?
ist 2x als Ableitung aus x² entstanden oder wie?
ist also ((1+x³)³)' = 3*(1+x³)*3x² oder doch nicht?
wäre ma gut zu wissen ^^

2.)
wieso (1+x²)^4 ? ich dachte ^3?
3.)
warum wird aus ^4 plötzlich doch ³, ich raff das nich, oder ......
ahh, aha du hast also gekürzt, das beantwortet nämlich auch meine nächste Frage wo das ² hin verschwunden ist, aber so macht das Sinn!!!

.... ja doch der Rest ergibt dann auch Sinn, ich werd gleich ma versuchen so auch f" zu knacken!!!

Noch zwei Sachen:

1.) Ist g² in g" in diesem Bsp. also (1+x²)^6 (quasi(^3)²)?

2. Würdest du generell empfehlen f*g erstma als zusammengefasste Ausdrücke
(also (1+x)² statt eben 1+2x+x²)
zu multiplizieren?
3. hast du noch n Tip für mich

So oder so ersma vielen vielen Dank!!!!!

Miles Lorenz schrieb:

g' ist also = 2*(1+x²)*2x ?
ist 2x als Ableitung aus x² entstanden oder wie?

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Ja, das ist die Kettenregel, äußere Ableitung mal innere Ableitung. Bei (1+x^2)^2 ist die äußere Funktion (...)^2, abgeleitet 2(...), und die innere Funktion 1+x^2, abgeleitet 2x. Macht zusammen 4x(1+x^2), ich habs aber der Klarheit wegen erstmal etwas ausführlicher hingeschrieben.

ist also ((1+x³)³)' = 3*(1+x³)*3x² oder doch nicht?
wäre ma gut zu wissen ^^

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Nicht ganz, deine äußere Ableitung ist falsch, die ist nämlich 3(1+x^3)^2.

2.)
wieso (1+x²)^4 ? ich dachte ^3?

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(1+x^2)^2

3.)
warum wird aus ^4 plötzlich doch ³, ich raff das nich, oder ......
ahh, aha du hast also gekürzt, das beantwortet nämlich auch meine nächste Frage wo das ² hin verschwunden ist, aber so macht das Sinn!!!

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Genau, ich habe gekürzt. Bei einer rationalen Funktion ist es (wenn ich mich nicht irre) immer so, dass man ab der zweiten Ableitung kürzen kann.

1.) Ist g² in g" in diesem Bsp. also (1+x²)^6 (quasi(^3)²)?

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Ich versteh die Frage nicht. Vielleicht würde es auch helfen, wenn du nicht denselben Buchstaben für verschiedene Dinge verwenden würdest. Meinst du, dass wenn du f'' nochmal ableitest, also die dritte Ableitung bildest, der Nenner zu (1+x^2)^6 wird? Ja, bis du ihn wieder kürzt.

2. Würdest du generell empfehlen f*g erstma als zusammengefasste Ausdrücke
(also (1+x)² statt eben 1+2x+x²)
zu multiplizieren?

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Ja.

3. hast du noch n Tip für mich

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Ableitungsregeln lernen und üben

Recht herzlichen Dank für diese sehr lehrreiche Mathestunde!!!
hat mich wirklich weiter gebracht!

Wirst sicher wieder von mir hören^^