00054 SK1 Aufgabe 9 Stück bei min. Kosten

00054 SK1 Aufgabe 9: Stück bei min. Kosten

Hallo zusammen,

ich hänge mal wieder... ;-(

Die Funktion k(x) beschreibe die Stückkosten der Produktion eines Gutes in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge x:

k(x) = x^2 - 10,5x + 30 +5/x

Berechnen Sie die Stückzahl x0, für die die Gesamtkosten minimal sind, und geben Sie die Lösung in Dezimaldarstellung an.

Mein erster Ansatz war der:

k'(x) muss 0 sein und k''(x) muss > 0 sein. ==> Tiefpunkt = Kostenminimierung

k'(x) = 2x -10,5 - 5x^-2 = 0
<==> 2x^3 -10,5x^2 -5 = 0

Wie kann ich denn hier die Nullstellen bestimmen, wenn 1 schon keine Nullstelle ist? Raten gefällt mir nicht.

Mein zweiter Ansatz war:
K(x) schon mit x "erweitern" und dann abzuleiten. Dann kommen nur 2 Nullstellen raus, nämlich 5 und 2.

Dies eingesetzt in die Kostenfunktion:
k(5) = 3,5
k(2) = 15,50

Damit wäre 5 richtig. Seht Ihr das auch so?

Danke und Gruß
Iris

Iris,

hab's kurz nachgerechnet und das gleiche Ergebnis.

Ansatz:
Von k(x) ausgehend K(x) (=Gesamtkosten) bestimmen, k(x) * x ->

K(x) = x^3 - 10,5 x^2 + 30x + 5

Minimum der Gesamtkosten ist bei K'(x) = 0 und K''(x) > 0

K'(x) = 3x^2 - 21x + 30 (hier hab ich mit 3 gekuerzt, also x^2 - 7x + 10)
K''(x) = 2x - 7

Quadratische Ergaenzung fuer K'(x) ergibt die Punkte 5.0 und 2.0, Einsetzen in K''(x)

K''(5) = 3 > 0 -> Minimum
K''(2) = -3 < 0 -> Maximum

Damit sind 5.0 Stueck die gefragte Stueckzahl x0. Meiner Meinung nach ist die Frage somit fertig beantwortet, denn es wird nicht zusaetzlich nach den Kosten gefragt, die bei dieser Stueckzahl anfallen. Wenn man's aber noch in die Gesamtkostenfunktion einsetzt, kommt bei mir 17,5 raus. Vielleicht meldet sich dazu aber noch jemand, der das mit den Fragestellungen besser checkt als ich. Da bin ich mir selbst oft nicht ganz sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe.

Viele Gruesse
Caro

PS. Der erste Ansatz ist meiner Meinung nach falsch, weil Du hier Ableitungen bildest von den Stueckkosten, gefragt sind im Text aber die Gesamtkosten. Bei Deinem zweiten Ansatz verstehe ich nicht ganz, weshalb Du die ermittelte Stueckzahl in die Stueckkostenfunktion einsetzt.

Gesamtkosten=Stückkosten*Anzahl
K(x)=x*k(x)

[tex] K(x) = x^3 - 10,5x^2 + 30x + 5 [/tex]

[tex] K'(x) = 3x^2 -21x + 30 [/tex]

[tex] 0 = x^2 -7x + 10 [/tex]
[tex] x= 7/2 +- \sqrt {(7/2)^2 -10)} =7/2 +- \sqrt { \frac 9 4 } [/tex]
x=5 v x=2

[tex] K''(x) = 6x -21 [/tex]
Min bei x=5 Max bei x=2

Bei beiden Nullstellen von Dir komme ich auch auf andere Werte für die Gesamtkosten:

[tex] K(5) =5^3 - 10,5*5^2 + 30*5 + 5= 17,5 [/tex]

[tex] K(2) =2^3 - 10,5*2^2 + 30*2 + 5= 26 [/tex]

Ihr beiden,

danke, ich hab's jetzt auch verstanden.
1.) Der Unterschied zwischen k(x) (Stückkosten) und K(x) (Gesamtkosten)
2.) Ich habe k(5) und k(2) errechnet und nicht K(5) und K(2). Daher die Abweichungen.

Danke, Ihr seid echt klasse!!
Gruß
Iris