Fragen von @pple

Da ich hier so viele Beiträge einstelle, dass die der anderen Nutzer auf die zweite Seite gedrängt werden, habe ich beschlossen, ein Sammelthread für
meine Fragen zu erstellen. Wie Ihr bestimmt schon bemerkt habt, muss ich noch eine Menge bis zur Klausur tun und ich hoffe sehr, dass Ihr nicht so schnell die Geduld verliert und ich den Mathe-Schein endlich hinter mich bringen kann. Damit der Überblick nicht verloren geht, werde ich die Aufgaben durchnummerieren. Die Aufgaben, zu denen ich noch keine Antwort erhalten habe, habe ich rot markiert.

Ich weiß Eure Hilfe sehr zu schätzen!!! :danke:

PS. Die meisten Aufgaben stammen aus den Brückenkurs-Klausuren, für die ich keine Musterlösung habe.

Aufgabe 1

Eine Nachricht soll nach dem Schneeball-System verbreitet werden.
Zu Beginn werden 8 Briefe abgesandt mit der Bitte an alle Empfänger, jeweils weitere 8 Personen anzuschreiben. Dieser Bitte kommen in jeder Runde die Hälfte der Empfänger nach.

Es soll die Anzahl der Briefe, die in den ersten fünf Runden insgesamt versendet werden, ermittelt werden.

Die Partialsumme einer geometrischen Reihe ist also gesucht und ich bin wie folgt an die Aufgabe rangegangen:

Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass der Erstversand, der das Schnellball-System anstößt, nicht als Runde mitgezählt werden soll.

8 => Erstversand
1. Runde: 4*8=32
2. Runde: 16*8=128
3. Runde: 64*8=512
4. Runde: 256*8=2048
5. Runde: 1024*8=8192

Die geometrische Folge lautet also (32, 128, 512, 2048, 8192)
also bin ich auf das Bildungsgesetz 4^n*8 gekommen und Summe der Folgenglieder ist 10912.

Wenn ich nun die Formel für die n-Partialsumme angebe, erhalte ich aber
S5=a1*(1-q^n)/1-q=32*(1-8^5)/1-8=149.792

Wo liegt der Fehler?

Degressive Abschreibung

Aufgabe 2

L kauft zu Beginn eines Jahres Mähdrescher. AK 200TGE
Wertverlust nach Ablauf eines Jahres beträgt 10% vom jeweiligen Wert zu Beginn des Jahres.

Zeigen, dass geometrische Folge vorliegt sowie aus allgemeinem Bildungsgesetz der geom. Folge die Bestimmungsgl. für Restwert y nach Ablauf von x= 5 Jahren ermitteln

a1=200T*0,9
a2=a1*0,9
a3=a2*0,9
.
a5=a1*0,9^n-1
= 118.098GE

Ist das ok?

3. Aufgabe

Von dem Polynom P5(x)=x^5-11x^4+32x^3-4x^2-48x seien die Nullstellen
x1=2 und X2=4 bekannt.

Ermitteln Sie die übrigen Nullstellen und zerlegen Sie das Polynom vollständig
in Linearfaktoren.

Erst habe ich x ausgeklammert und somit an der Stelle 0 eine weitere NST erhalten. Bei der verbliebenen Funktion 4. Grades habe ich durch Probieren
die Nullstelle (-1,0) gefunden. Nun fehlte mir noch eine NST, da P5, also
wollte ich folgende Polynomdivision durchführen
(x^4-11x^3+32x^2-4x-48)/(x+1)
Dort habe ich dann aber einen Rest von 8 erhalten und bin also nicht weitergekommen.

Da die Linearfaktorzerlegung durchgeführt werden soll, könnte ich die Nullstellen ja daraus ableiten, wenn ich fünf Terme erhalte. Leider weiß ich nicht wie ich eine Funktion mit einem Grad dieser Größenordnung zerlegen soll. Ich kann mir nur ableiten, dass folgende Terme enthalten sein müssen (x-2)*(x-4)*(x+1)

Fehlen also noch zwei Terme...

Das erste Element ist 8 und der "Wachstumsfaktor" ist 4.

Vielen Dank!

Weil auf 8 Empfänger 4 weitere Briefe kommen und der Erstversand mitgezählt wird?
Jetzt kommt allerdings eine krumme Zahl raus.

Der Wert ist richtig, die Formel jedoch nicht ganz. Bei der geometrischen Folge gibt es einen festen Quotienten q zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Elementen, der hier 0,9 ist. Du hast diesen Quotienten allerdings schon in das erste Element a1 eingebaut. Am einfachsten ist, wenn du definierst, dass deine Folge mit a0=200 beginnt.

Gruß
Stefan

Das Ausklammern von x war richtig, d.h. du hast eine weitere Nullstelle mit x=0. Um die übrigen Nullstellen zu finden, hilft raten aber nicht unbedingt weiter. Da ja zwei Nullstellen gegeben sind, ist eine Polynomdivision angesagt. Dies geht mit dem Horner-Schema. Hier dividierst du die Gleichung, die du nach dem Ausklammern von x erhalten hast durch (x-2) und das Ergebnis dann nochmal durch (x-4). Du hast dann eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen kannst.

Gruß
Stefan

Sollte nicht passieren. Bitte nochmal nachrechnen. Du musst hier jedoch auch n um eins erhöhen, d.h. bis zur Runde 6 rechnen oder aber mit a0=8 beginnen.

Wenn ich dann in der Formel a1 durch a0 ersetzte, würde es also wieder stimmen.

Und was sagst Du zu der Linearfaktorzerlegung, die in der Aufgabenstellung gefragt ist? Weißt Du wie es bei dieser Aufgabe funktioniert?
Könnte ich diese dann nicht auch zur Nullstellenbestimmung nutzen?

Jetzt komme ich auf die 10.920

Zwei Dinge verunsichern mich allerdings. Mit meinem falschen Lösungsansatz bin ich auf die 10912 gekommen, also ohne die 8 Erstbriefe. Erst bei Verwendung der Partialsummenformel zeigt sich, dass da etwas nicht stimmt.
Ist das ein Zufall, der an der Zahlenkonstellation liegt?
Und wenn ich z.B. ein Glied der Folge berechnen würde, z.B. für die 5. Runde,
dann rechne ich a1*4^6-1. Aber eigentlich rechnet man doch schon q^n-1,
damit das erste Glied nicht betroffen ist. Dass in a1 kein q enthalten sein darf, habe ich verstanden. Dass nun hier um eins erhöht werden muss, liegt doch nur daran, dass a1 nicht der ersten Runde entspricht (bzw. in der Abschreibungsaufgabe ist der Wert für das erste Jahr=a2), oder?

D.h. würden die Aufgabenstellungen lauten: Ermittle nur den Folgeversand bzw. den Restwert zu Beginn des Folgejahres, dann bräuchte man n nicht um eins erhöhen. Ist das so oder sollte ich für heute lieber Feierabend machen?

Eine Folge beginnt meistens mit den Index 1. Wenn Du dann noch 5 Runden durchlaufen willst, muss der Index bis 1+5=6 gehen. Das ist manchmal verwirrend. Eine Nebenrechnung zur Kontrolle ist manchmal sinnvoll.

Linearfaktorzerlegung und Polynomdivision sind Synonyme. Nach der Linearfaktorzerlegung hat du ein Produkt aus 5 Faktoren, von denen eines das x und die anderen vier Klammern mit Summen und Differenzen sind. Wenn du x so wählst, dass eine dieser Klammern Null wird, hast du eine Nullstelle gefunden.

Es wurde zwei Nullstellen vorgegeben: x1=2 und x2=4 hieraus kannst du folgende Klammern ableiten: (x-2) und (x-4). Nach dem Ausklammern von x bleibt folgender Term übrig:



Dieser wird nun durch die erste Klammer (x-2) dividiert. Das Ergebnis dann durch die zweite Klammer. Das geht mit dem Hornerschema. Vgl. hierzu beiliegende pdf.

Gruß
Stefan

Ähm also doch die Begründung, die in meinem letzten Absatz steht?! Aber jetzt habe ich es definitiv verstanden. Werde lieber das Erhöhen von n als die Einführung von a0 favorisieren, damit die Formel stimmt, die sie haben wollen.

Vielen Dank! Meine Güte, Du stehst Sonntags aber früh auf. Mich hat gerade die Prüfungsangst aus dem Bett getrieben...

Aufgabe 4

Von den Gesamtkosten K einer Bleistiftfabrik nimmt man an, dass sie durch ein Polynom dritten Grades beschrieben werden kann, folgende Angaben liegen dabei vor:

Fixkosten: 12GE
Grenzkosten K'(2)=0
Grenzkostenfunktion besitzt an der Stelle 2 ein Minimum
Die Gesamtkosten für x=2 belaufen sich auf 20GE

Bestimmen Sie die Kostenfunktion?

Hinweis: Beachten Sie, dass es sich um ein Minimum der Grenzkostenfunktion K'(x) handelt.

Daraus habe ich mir folgende "Skizze" gebastelt:

K(x)=20
K'(x) hat an der Stelle 2 eine Nullstelle, also K'(2)=0
K''(x)>0, da Minimum vorliegen soll

Gesucht ist die Kostenfunktion für 2ME mit dem Ergebnis 20
Für folgende Funktion wäre die Gleichung erfüllt
K(2)=x^3+x^2+12

Also habe ich die abgeleitet und versucht aus der Funktion die Nullstellen zu ermitteln, in der Hoffnung, dass eine davon 2 ist und K(x) ok ist.
Natürlich hat das nicht funktioniert (unter der Wurzel ergibt sich sogar ein Negativbetrag), weil sich die 20 ja auch durch andere Konstellationen ergeben können. Z.B. Ergeben auch x^3+12 und x^3+2x+12 auch 20

Zwischenzeitlich dachte ich auch K'(2)=0 ist so zu interpretieren, dass bei 2ME keine variablen Kosten anfallen, was auch unlogisch ist und dann wäre K ja 12 und nicht 20.

Wie löst man die Aufgabe ohne endloses Rumprobieren?

Augabe 5

Ein Ball wird vom Rand eines Turmes in eine Ebene hinabgeworfen. Die Flugbahn wird dabei durch die Funktion f(x)= -1/20x^2+x+40 beschrieben.

a) Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Funktionsverlauf der Flugbahn.

Die Wertetabelle ergibt folgende Wertepaare (10/40), (20/40), (30/40), (40/0)

Der Turm ist also ca. 40 Meter hoch und der Ball fliegt erstmal 30 Meter geradeaus, fällt dann runter und kommt nach weiteren 10 Metern auf dem Boden auf.

b) Berechnen Sie mit Mitteln der Differentialrechnung den höchsten Punkt der Flugbahn.

Die erste Ableitung würde den höchsten Wert an der Stelle 10 ergeben, also 40 Meter. Aber liegt bei einem Extrema nicht eine "Spitze" vor oder ist der höchste Punkt einfach nur ein globales Extrema, dass dann auch an den Stellen 20 und 30 vorliegt?

c) Bestimmen Sie die Entfernung vom Turm aus, nachdem der Ball den Boden berührt hat, indem Sie die entsprechende NST der Funktion berechnen.

Durch die Wertetabelle ergibt sich doch die Nullstelle bei 40 Metern. Was soll ich denn da noch berechnen??

Die Kostenfunktion lautet allgemein:



Es sind auch einige Punkte gegeben, die sich jedoch auf verschiedene Ableitungen beziehen. Beachte, dass hier auf das Minimum der Grenzkostenfunktion verwiesen wird, d.h. K''(2)=0. Gleichzeitig gilt K(2)=20, K'(2)=0 und K(0)=12. Einfach die Punkte in die unterschiedlichen Gleichungen einsetzen und das Gleichungssystem auflösen.
Gruß
Stefan

Ich probiere das mal aus. Danke!
Darf ich mit der Formel 20=ax^3+b^x^2+cx+d arbeiten, da dort bereits festgelegt ist, dass die Gleichung für x=2 stimmen muss?

Redest Du von einem normalen Gleichungssystem oder von der Lagrange-Technik? (Habe eben was dazu im Dörsam gefunden)

Für x musst du hier 2 einsetzen und hast schon eine der Gleichungen. Mit Gleichungssystem meine ich ein einfaches lineares, das man z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann. Variablen sind a, b, c, d. D.h. du brauchst vier Gleichungen.
Gruß
Stefan

Die Werte solltest du nochmal nachrechnen, dann lösen sich die anderen Fragen auch wie von selbst.

Frage 7

Ich habe hier zwei Fragen zur Klausur 03/00

Zur Aufgabe 6:
Sehe ich das richtig, dass hier nur die Determinante berechnet wird? Ist das die allgemeine Schreibweise für die Determinante?

Zur Aufgabe 15:
Was bedeutet die (2) über dem Dreieck? Es soll die 2. Differenz-"Ebene" ermittelt werden?

Leider stehen die Klausuren erst ab 09/01 online, sonst hätte ich verlinkt.

Nein, die beiden letzten Vorzeichen sind verkehrt.

Ja, du sagst es ja selbst "DIE NICHT VON X ABHÄNGIG IST"

das ist die Alternativschreibweise zu 'det A'

Ja, Es soll das 3. Folgenglied der zweiten Differenzenfolge berechnet werden

Vielen Dank!

Die neue Wertetabelle lautet: (10/45), (20/40), (30,25), (40/0)

Nun habe ich eine leicht konkave (fallende) Kurve. Wenn ich Werte wähle, die kleiner als 10 sind, werden die y-Werte kleiner und ich habe an der Stelle 10 tatsächlich eine Spitze (Maximum). Die Entfernung vom Turm beträgt nach meinem Verständnis weiterhin 40m, da dort der Punkt (40/0) liegt.
Die Nullstellenberechnung ergibt Nullstellen bei -20 und 40. Werde das einfach hinschreiben, wenn gefordert und die Grafik als zusätzliche Orientierung ansehen. Ich bin bei Wiki darauf gestoßen, dass bei einer konkaven Funktion die erste Ableitung fallend sein muss und wollte das natürlich ausprobieren. Habe die Ableitung gezeichnet und festgestellt, dass der Graph für die Werte 10, 20, 30, 40 eine fallende Gerade ergibt, aber wenn ich z.B. für die Stellen 5 oder 15 zeichne, liegen die Werte vor und hinter der Nullstelle eng an der x-Achse und es ist vorbei mit der Geraden. Ist das einfach nur eine Verzehrung aufgrund des Maßstabs?

Trotzdem noch eine blöde Frage zur Sicherheit. Wäre es ein , d.h. die zusätzlichen fixen Kosten wären in einer gewesen, hätte ich fixe Kosten in Höhe von 109€ erhalten, oder?

richtig, in diesem Fall wären es 109 €.

Ich habe jetzt zusätzlich die Nullstellen

, und erhalten.

Die Zerlegung lautet also: