Homogenitätsgrad bestimmen / Cobb-Douglas

Silverbell, um welche Funktion dreht es sich denn? Dann zeige ich Dir den Rechenweg.

Beste Grüße,

Daniel Lambert

Daniel,
es geht da um die Cobb-Douglas Funktion im Skript Einführung BWL Seite 69. ...ich dachte die Cobb-Douglas Funktion ist immer gleich?! ...Daher rührt meine Frage. Sind die Potenzen der Werte so immer gleich? ...und muss "c" in einer Aufgabe gegeben sein oder ist das auch immer gleich??
Ich freue mich über einen Tipp!

x = f(r1, r2) = c * r1^a * r2^b mit c > 0 und 0 < a < 1 und 0 < b < 1


ist eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion in den Faktoren 1 und 2 (Faktoreinsatzmengen r1, r2).

Jede Cobb-Douglas Produktionsfunktion ist homogen vom Grade a+b, denn für einen beliebigen Proportionalitätsfaktor p gilt:

x(p)
= f(p*r1, p*r2)
= c * (p*r1)^a * (p*r2)^b
= c * p^a * r1^a * p^b * r2^b
= p^(a+b) * c * r1^a * r2^b
= p^(a+b) * f(r1, r2)
= p * x

Falls a+b = 1, dann ist die Produktionsfunktion linear-homogen.

Falls a+b < 1, dann ist die Produktionsfunktion unterlinear-homogen.

Falls a+b = > 1, dann ist die Produktionsfunktion überlinear-homogen.

Beispiele:

x = 5 * r1^1/2 * r2^1/4 ist homogen vom Grade 1/2 + 1/4 = 3/4 < 1, also unterlinear-homogen.

x = r1^2/5 * r2^6/7 ist homogen vom Grade 2/5 + 6/7 = 44/35 > 1, also überlinear-homogen

x = 254 * r1^1/3 * r2^2/3 ist homogen vom Grade 1/3 + 2/3 = 1, also linear-homogen.

Liebe Grüße